МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ

Где n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятных событию. Но этот непосредственный способ не является основным в теории вероятностей его применение не всегда удобно и не всегда возможно. Даже когда событие сводится к схеме случаев, зачастую эта схема бывает слишком сложна, и непосредственный подсчет вероятности становится чрезмерно громоздким. Что касается событий, сводящихся к схеме случаев, то и их вероятности лишь в редких случаях определяются непосредственно по частотам. На практике обычно требуется определять вероятности событий, непосредственное экспериментальное воспроизведение которых затруднено. Например, если требуется определить вероятность поражения самолета воздушном бою, ясно, что определение этой вероятности по частоте практически невозможно. И не только потому, что такие опыты оказались бы непомерно сложными и дорогостоящими, а еще потому, что часто нам требуется оценить вероятность того или иного исхода боя не для существующих образцов техники, а для перспективных, проектируемых. Обычно такая оценка и производится для того, чтобы выявить наиболее рациональные конструктивные параметры элементов перспективной техники.

Поэтому, как правило, для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему таких косвенных методов, пользование которыми позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму.

Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными теоремами теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умно­жения вероятностей. Строго говоря, оба эти положения являются теоремами и могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, они принимаются аксиоматически, как принципы или постулаты.

Перед тем как формулировать основные теоремы, введем некоторые вспомогательные понятия, а именно понятия о сумме событий и произведении событий.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои назва­ния по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств кото­рых они обладают. Таковы, например, операции сложения и умно­жения векторов в механике, операции сложения и умножения матриц в алгебре и т. д. Эти операции, подчиненные известным правилам, позволяют не только упростить форму записей, но в ряде случаев существенно облегчают логическое построение научных выводов. Введение таких символических операций над событиями оказывается плодотворным и в теории вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоя­щее в выполнении события А или события В. или обоих вместе.

Например, если событие А—попадание в цель при первом вы­стреле, событие В—попадание в цель при втором выстреле, то событие С = А + В есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле—при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события А и В несовместны, то естественно, что появление обоих этих событий вместе отпадает, и сумма событий А и В сво­дится к появлению или события А, или события В. Например, если событие А — появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие В—появление карты бубновой масти, то С=:А+В есть появление карты красной масти, безразлично—чер­вонной или бубновой.

Короче, суммой двух событий А к В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события Л и события В.

Например, если событие Л—появление туза при вынимании карты из колоды, событие В—появление карты бубновой масти, то собы­тие С = АВ есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие Л—попадание при первом выстреле, событие В—попадание при втором выстреле, то С=АВ есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий называется событие, состоя­щее в совместном появлении всех этих событий.

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, при­меняя и операцию сложения, и операцию умножения событий.